Funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\).
1.1 Funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\) como curvas en el espacio, límites y derivadas en términos de las componentes.
1.2 La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.
1.3 Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.
1.4 Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria por longitud de arco, comparación de parametrizaciones.
1.5 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.
1.6 Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.
1.7 Fórmula de Frenet y Serret (si hay tiempo).

Espacios normados.
2.1 Espacios vectoriales, normas en \(\mathbb{R}^n\).

Topología de \(\mathbb{R}^n\) y funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
3.1 Conjuntos abiertos, cerrados, frontera.
3.2 Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine y Borel, producto de compactos.
3.3 Conexidad y conexidad relativa.
3.4 Definición de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
3.5 Funciones de \(\mathbb{R}^n\) en\(\mathbb{R}^m\), límites y continuidad.
3.6 Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.
3.7 Teorema de Bolzano - Weierstrass.
3.8 Funciones continuas en compactos.

Funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
4.1 Conjuntos de nivel y gráficas.
4.2 Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.
4.3 Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición de puntos críticos.
4.4 Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de las parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.
4.5 Diferenciales de orden \(k\), aproximación por polinomios de Taylor, ejemplos.

Elementos de álgebra lineal.
5.1 Transformaciones lineales y matrices.
5.2 Valores y vectores propios.

Funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
6.1 Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad del gradiente a los conjuntos de nivel.
6.2 Teoremas de la función inversa e implícita con demostraciones, ejemplos.
6.3 Teorema del rango (opcional).
6.4 Ejemplos.

Máximos y mínimos.
7.1 Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y criterios de positividad, aplicación a hessianos para detectar máximos, mínimos y puntos silla.
7.2 Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange, ejemplos.