La geometría y estructura algebraica de \(\mathbb{R}^n\).
1.1 \(\mathbb{R}^n\) y su estructura como espacio vectorial.
1.1.1 Aspectos geométricos de \(\mathbb{R}^n\).
1.1.2 Producto punto; norma y distancia euclidianas.
1.1.3 Desigualdad de Cauchy - Schwarz.
1.1.4 El ángulo entre dos vectores en \(\mathbb{R}^n\).
1.1.5 El producto cruz en \(\mathbb{R}^3\).
1.1.6 Conjuntos notables en \(\mathbb{R}^n\) (bolas, rectángulos, rectas, planos, hiperplanos, superficies cuádricas en \(\mathbb{R}^3\), etc..).
1.1.7 Conjuntos convexos en \(\mathbb{R}^n\).
1.1.8 Otros sistemas coordenados (coordenadas polares; esféricas; cilíndricas).
1.1.9 Otras normas en \(\mathbb{R}^n\).

Funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
2.1 Funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
2.1.1 Gráfica de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
2.1.2 Conjuntos de nivel.
2.1.3 Funciones convexas.
2.2 Funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\).
2.2.1 La traza o imagen de una función de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\) y su gráfica en \(\mathbb{R}^{n+1}\).
2.2.2 Ejemplos de curvas notables.
2.3 Funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
2.3.1 Ejemplos de campos vectoriales.
2.3.2 Definición y ejemplos de transformaciones lineales y transformaciones afines de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
2.3.3 Funciones de cambios de coordenadas.

Topología de \(\mathbb{R}^n\).
3.1 Conjuntos abiertos y cerrados en \(\mathbb{R}^n\).
3.1.1 El interior, el exterior y la frontera de un conjunto.
3.1.2 Definición y ejemplos de conjuntos abiertos en \(\mathbb{R}^n\).
3.1.3 Puntos de adherencia, conjuntos cerrados y la cerradura de un conjunto.
3.1.4 Puntos de acumulación y puntos aislados.
3.2 Conjuntos densos.
3.3 Sucesiones y subsucesiones en \(\mathbb{R}^n\).
3.4 Conjuntos compactos.
3.4.1 Definición y ejemplos.
3.4.2 Teorema de Heine-Borel.
3.4.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass.
3.5 Completitud de \(\mathbb{R}^n\).
3.6 Conjuntos conexos.

Funciones continuas.
4.1 Límites.
4.2 Continuidad: definición y ejemplos.
4.3 Caracterizaciones de funciones continuas.
4.4 Funciones continuas en compactos.
4.4.1 Imagen continua de un compacto.
4.4.2 Existencia de máximos y mínimos para funciones reales.
4.5 Continuidad uniforme.
4.6 Funciones continuas en conexos.
4.6.1 Imagen continua de un conexo.
4.6.2 Teorema de valor intermedio.
4.7 Funciones Lipschitz continuas. El caso de las transformaciones lineales.

Derivadas de funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\).
5.1 Parametrización y parametrización de curvas.
5.2 Derivada de funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\).
5.2.1 Motivación y definición.
5.2.2 Propiedades básicas.
5.2.3 Vectores y rectas tangentes a curvas. Velocidad y rapidez.
5.3 Derivadas de orden superior y su interpretación física y geométrica.
5.4 Teoría de curvas rectificables.
5.4.1 Definición de curvas rectificables.
5.4.2 Longitud de arco y parametrización por longitud de arco.
5.4.3 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.
5.4.4 Triedro y fórmulas de Frenet y Serret para curvas en \(\mathbb{R}^3\).

Derivada de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
6.1 Primer acercamiento a la derivada para funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
6.1.1 Motivación: análisis del caso conocido de funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^n\) (la derivada como la parte lineal de la función afín más parecida a la función en un punto).
6.1.2 Definición de la derivada de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\) y ejemplos básicos.
6.1.3 Unicidad y linealidad de la derivada.
6.2 Derivadas direccionales y parciales de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
6.2.1 Definición y ejemplos de derivadas direccionales y parciales.
6.2.2 Propiedades básicas de las derivadas direccionales y parciales.
6.2.3 Teorema de valor medio para derivadas direccionales y parciales.
6.3 Gradiente de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
6.3.1 Definición y ejemplos.
6.3.2 Gradiente como la dirección de máximo crecimiento.
6.3.3 El gradiente y cálculo de la derivada de una función de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
6.3.4 Hiperplano tangente a la gráfica de una función en un punto.
6.4 Propiedades de la derivada de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^m\).
6.4.1 Propiedades básicas de las derivadas: regla de Leibniz, regla de la cadena, etc..
6.4.2 La continuidad como condición necesaria para la diferenciabilidad.
6.4.3 La matriz jacobiana.
6.4.4 Criterios de diferenciabilidad en términos de la existencia y continuidad de las derivadas parciales. Ejemplos.
6.5 Derivadas de orden superior.
6.5.1 Segundas derivadas parciales, parciales cruzadas y teorema de Schwarz.
6.5.2 La hessiana de una función de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
6.5.3 Derivadas parciales de orden \(k\) y funciones de clase \(C^k\).
6.6 Teorema de Taylor.
6.6.1 Polinomio de Taylor de grado dos.
6.6.2 Aproximación por polinomios en varias variables y ejemplos.

Aplicaciones de las derivadas.
7.1 Máximos y mínimos de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
7.1.1 Puntos críticos de funciones, puntos maximizantes, minimizantes y sillas.
7.1.2 Formas cuadráticas definidas positivas en dos o más variables.
7.1.3 Matriz hessiana y el criterio de la segunda derivada en dos o más variables.
7.1.4 Problemas de optimización.
7.1 Máximos y mínimos con restricciones de funciones de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}\).
7.1.1 Hiperplano tangente a una hipersuperficie de nivel.
7.1.2 Definición de puntos críticos con restricciones.
7.1.3 El método de los multiplicadores de Lagrange.
7.1.4 Ejemplos de problemas de optimización con restricciones.

Teoremas de la función implícita e inversa.
8.1 Teorema de la función inversa.
8.2 Teorema de la función implícita y su equivalencia con el teorema de la función inversa.
8.3 Aplicaciones.